MACAM-MACAM BILANGAN
Di dalam kalkulus, setiap analisisnya selalu didasarkan pada sistem
bilangan real. Berdasarkan hal tersebut, maka kalkulus sering disebut
dengan analisis fungsi real. Mengingat pentingnya bilangan real pada
kalkulus, maka pada bab ini akan diuraikan secara rinci tentang macam-
macam bilangan yang berkaitan dengan bilangan real.
Bilangan terdiri dari beberapa macam. Melalui bagan, dapat
ditampilkan sebagai berikut.
Kompleks (K)
Real (R) Khayal
Rasional (Q) Irasional (Q )
Bulat (B) Pecahan (F)
Cacah (C) Bulat negatif (B-)
Asli (A) Nol
1. Bilangan Asli (A)
Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari angka 1 dan bertambah 1
untuk bilangan-bilangan berikutnya. Jadi, bilangan asli (A) dapat ditulis A={1,2,3,...}. Bilangan asli juga sering disebut bilangan bulat positif.
Bilangan asli dapat dibedakan menjadi 3 jenis, yaitu bilangan ganjil (J),
bilangan genap (G), dan bilangan prima (P). Dimana himpunan dari
bilangan-bilangan tersebut dapat ditulis J={1,3,5,....}, G={2,4,6,...},
P={2,3,5,7,11,...}.
2. Bilangan Nol (0)
Bilangan nol merupakan suatu bilangan netral yang tidak bernilai positif
maupun negatif. Selain itu, dapat dikatakan bahwa nol merupakan suatu
bilangan yang tidak memiliki tanda yang memisahkan antara bilangan
positif dan negatif.
3. Bilangan Cacah (C)
Bilangan cacah adalah bilangan yang dimulai dari angka nol (0) dan selalu
bertambah 1 untuk bilangan-bilangan berikutnya. Definisi lain mengatakan
bahwa bilangan cacah merupakan himpunan bilangan bulat yang bukan
negatif. Himpunan bilangan cacah dapat ditulis C={0,1,2,3,....}.
4. Bilangan Bulat Negatif (B-)
Bilangan bulat negatif adalah himpunan bilangan yang dimulai dari angka -1
dan berkurang 1 untuk bilangan-bilangan selanjutnya. Himpunan bilangan bulat negatif dapat ditulis B-={....,-5,-4,-3,-2,-1}. Berbeda dengan bilangan
asli, untuk bilangan bulat negatif, semakin besar angka yang tertulis, maka
semakin kecil nilainya, dan begitu juga sebaliknya.
5. Bilangan Pecahan (F)
Bilangan pecahan adalah himpunan bilangan yang selalu terdiri dari
pembilang (numerator) dan penyebut (denominator). Himpunan bilangan
pecahan dapat ditulis F=
Bilangan pecahan dapat dibedakan
menjadi 2, yaitu: 1) pecahan murni: bila nilai mutlak pembilang lebih kecil
dari penyebut; 2) pecahan tidak murni: bila nilai mutlak pembilang lebih
besar dari penyebut.
6. Bilangan Rasional (Q)
Bilangan rasional adalah semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk dimana a dan b merupakan anggota bilangan bulat dan b≠0. Atau
dapat dikatakan bahwa bilangan rasional merupakan himpunan bilangan
yang di dalamnya terdapat bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif,
pecahan positif, pecahan negatif, dan nol. Himpunan bilangan rasional dapat
ditulis Q={,2,0,. Bilangan rasional juga sering disebut bilangan
terukur, artinya bilangan-bilangan yang tidak berada di bawah akar. Contoh: √9 bukan bilangan yang berada di bawah akar, karena √9 = 3, dan 3 adalah
bilangan bulat.
Bilangan rasional dapat diubah menjadi bentuk pecahan desimal, baik
desimal terbatas (berakhir dengan nol) maupun terulang (tidak berakhir
dengan nol). Sebaliknya, suatu bilangan desimal terbatas atau terulang selalu
dapat dinyatakan menjadi pecahan biasa (rasional).
Contoh:
1. = 0,5 = 0,50 = 0, 500... (terbatas / berakhir dengan nol)
2. = 0,833... (terulang / tidak terbatas)
Contoh soal :
Ubahlah pecahan-pecahan desimal berikut menjadi bentuk pecahan biasa:
1. 0,375
2. 3,21562156....
Penyelesaian :
1.
Misal x = 0,375, maka :
1000x = 375; kurangkan dengan x, menjadi :
999x = 374,625. Maka x
Jadi, 0,375 = ,
2.
Misal x = 3,21562156...., maka
10000x = 32156, 21562156....
9999x = 32153, maka : x =
Jadi, 3,21562156.... =
7. Bilangan Irasional ( )
Bilangan irasional merupakan semua bilangan yang tidak dapat ditulis dalam
bentuk
dimana a,b B dan b≠0. Bilangan irasional juga disebut bilangan
tidak terukur, artinya bila dinyatakan dalam bentuk desimal, maka
desimalnya tidak terbatas dan tidak terulang. Contoh = √2 = 1,414213..., √3
= 1,73205..., = 3,14159..., e = 2,71828..., dsb.
8. Bilangan Real (R)
Bilangan real adalah bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan
irasional. Atau dapat juga diartikan bahwa bilangan real adalah bilangan
yang terdiri dari bilangan bulat positif, bulat negatif, pecahan positif,
pecahan negatif, rasional, irasional,dan nol.
9. Bilangan Khayal
Bilangan khayal merupakan semua bilangan negatif yang berada di bawah tanda akar (pangkat genap). Sebagai satuan imajiner i = √-1, yang berarti i2
= -1.
Contoh : √-9 = √-1 x √9 = i x 3 = 3i √-8 = √-1 x √8 = i x 2√2 = 2i√2
10. Bilangan Kompleks (K)
Bilangan kompleks didefinisikan sebagai kombinasi linier antara bilangan
real dan khayal, ditulis : a + ib dengan a,b R. Contoh : 2 + 3i, 4 – 5i√3, dsb.
bilangan real. Berdasarkan hal tersebut, maka kalkulus sering disebut
dengan analisis fungsi real. Mengingat pentingnya bilangan real pada
kalkulus, maka pada bab ini akan diuraikan secara rinci tentang macam-
macam bilangan yang berkaitan dengan bilangan real.
Bilangan terdiri dari beberapa macam. Melalui bagan, dapat
ditampilkan sebagai berikut.
Kompleks (K)
Real (R) Khayal
Rasional (Q) Irasional (Q )
Bulat (B) Pecahan (F)
Cacah (C) Bulat negatif (B-)
Asli (A) Nol
1. Bilangan Asli (A)
Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari angka 1 dan bertambah 1
untuk bilangan-bilangan berikutnya. Jadi, bilangan asli (A) dapat ditulis A={1,2,3,...}. Bilangan asli juga sering disebut bilangan bulat positif.
Bilangan asli dapat dibedakan menjadi 3 jenis, yaitu bilangan ganjil (J),
bilangan genap (G), dan bilangan prima (P). Dimana himpunan dari
bilangan-bilangan tersebut dapat ditulis J={1,3,5,....}, G={2,4,6,...},
P={2,3,5,7,11,...}.
2. Bilangan Nol (0)
Bilangan nol merupakan suatu bilangan netral yang tidak bernilai positif
maupun negatif. Selain itu, dapat dikatakan bahwa nol merupakan suatu
bilangan yang tidak memiliki tanda yang memisahkan antara bilangan
positif dan negatif.
3. Bilangan Cacah (C)
Bilangan cacah adalah bilangan yang dimulai dari angka nol (0) dan selalu
bertambah 1 untuk bilangan-bilangan berikutnya. Definisi lain mengatakan
bahwa bilangan cacah merupakan himpunan bilangan bulat yang bukan
negatif. Himpunan bilangan cacah dapat ditulis C={0,1,2,3,....}.
4. Bilangan Bulat Negatif (B-)
Bilangan bulat negatif adalah himpunan bilangan yang dimulai dari angka -1
dan berkurang 1 untuk bilangan-bilangan selanjutnya. Himpunan bilangan bulat negatif dapat ditulis B-={....,-5,-4,-3,-2,-1}. Berbeda dengan bilangan
asli, untuk bilangan bulat negatif, semakin besar angka yang tertulis, maka
semakin kecil nilainya, dan begitu juga sebaliknya.
5. Bilangan Pecahan (F)
Bilangan pecahan adalah himpunan bilangan yang selalu terdiri dari
pembilang (numerator) dan penyebut (denominator). Himpunan bilangan
pecahan dapat ditulis F=
Bilangan pecahan dapat dibedakan
menjadi 2, yaitu: 1) pecahan murni: bila nilai mutlak pembilang lebih kecil
dari penyebut; 2) pecahan tidak murni: bila nilai mutlak pembilang lebih
besar dari penyebut.
6. Bilangan Rasional (Q)
Bilangan rasional adalah semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk dimana a dan b merupakan anggota bilangan bulat dan b≠0. Atau
dapat dikatakan bahwa bilangan rasional merupakan himpunan bilangan
yang di dalamnya terdapat bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif,
pecahan positif, pecahan negatif, dan nol. Himpunan bilangan rasional dapat
ditulis Q={,2,0,. Bilangan rasional juga sering disebut bilangan
terukur, artinya bilangan-bilangan yang tidak berada di bawah akar. Contoh: √9 bukan bilangan yang berada di bawah akar, karena √9 = 3, dan 3 adalah
bilangan bulat.
Bilangan rasional dapat diubah menjadi bentuk pecahan desimal, baik
desimal terbatas (berakhir dengan nol) maupun terulang (tidak berakhir
dengan nol). Sebaliknya, suatu bilangan desimal terbatas atau terulang selalu
dapat dinyatakan menjadi pecahan biasa (rasional).
Contoh:
1. = 0,5 = 0,50 = 0, 500... (terbatas / berakhir dengan nol)
2. = 0,833... (terulang / tidak terbatas)
Contoh soal :
Ubahlah pecahan-pecahan desimal berikut menjadi bentuk pecahan biasa:
1. 0,375
2. 3,21562156....
Penyelesaian :
1.
Misal x = 0,375, maka :
1000x = 375; kurangkan dengan x, menjadi :
999x = 374,625. Maka x
Jadi, 0,375 = ,
2.
Misal x = 3,21562156...., maka
10000x = 32156, 21562156....
9999x = 32153, maka : x =
Jadi, 3,21562156.... =
7. Bilangan Irasional ( )
Bilangan irasional merupakan semua bilangan yang tidak dapat ditulis dalam
bentuk
dimana a,b B dan b≠0. Bilangan irasional juga disebut bilangan
tidak terukur, artinya bila dinyatakan dalam bentuk desimal, maka
desimalnya tidak terbatas dan tidak terulang. Contoh = √2 = 1,414213..., √3
= 1,73205..., = 3,14159..., e = 2,71828..., dsb.
8. Bilangan Real (R)
Bilangan real adalah bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan
irasional. Atau dapat juga diartikan bahwa bilangan real adalah bilangan
yang terdiri dari bilangan bulat positif, bulat negatif, pecahan positif,
pecahan negatif, rasional, irasional,dan nol.
9. Bilangan Khayal
Bilangan khayal merupakan semua bilangan negatif yang berada di bawah tanda akar (pangkat genap). Sebagai satuan imajiner i = √-1, yang berarti i2
= -1.
Contoh : √-9 = √-1 x √9 = i x 3 = 3i √-8 = √-1 x √8 = i x 2√2 = 2i√2
10. Bilangan Kompleks (K)
Bilangan kompleks didefinisikan sebagai kombinasi linier antara bilangan
real dan khayal, ditulis : a + ib dengan a,b R. Contoh : 2 + 3i, 4 – 5i√3, dsb.
Komentar
Posting Komentar